Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é um assusto bastante simples (como todos os demais), porém, como diz “menino Lú” Só aprende praticando, e é o que vamos fazer agora. É considerado uma das principais descobertas daMatemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15


Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1.

Veja:

x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2

√2 = 1,414213562373....

Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15



Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)

Para conseguir resolver esse assunto, você precisa saber de alguns assuntos antigos (pré-requisitos), mas não se preocupe que eu lhe digo os assuntos que você precisa saber, são eles:

Equação do 1º e 2º grau

Adição e subtração com números inteiros

Racionalização

Obs: Se você tiver alguma dúvida nesse ou em outro assunto deste blog, postem nos comentários.

Semelhança de Triângulos

Semelhança de triângulos é um assusto bastante simples (como todos os demais), porém, como diz “menino Lú” Só aprende praticando, e é o que vamos fazer agora. Observe:

Temos que dois triângulos são congruentes:

Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Casos de congruência:

1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.

2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.

4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.
Dizemos que em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Para conseguir resolver esse assunto, você precisa saber de alguns assuntos antigos (pré-requisitos), mas não se preocupe que eu lhe digo os assuntos que você precisa saber, são eles:
Equação do 1º e 2º grau

Adição e subtração com números inteiros

Radiciação

Obs: Se você tiver alguma dúvida nesse ou em outro assunto deste blog, postem nos comentários.

Polígonos Semelhantes

Polígonos são regiões planas fechadas, constituídas de lados, vértices e ângulos. Dizemos que dois polígonos são semelhantes quando eles possuem o mesmo número de lados e se adéquam às seguintes condições:

 Ângulos iguais.
 Lados correspondentes proporcionais.
 Possuem razão de semelhança igual entre dois lados correspondentes.

Durante a razão de semelhança podemos observar as seguintes situações:

 Ampliação: razão entre os lados correspondentes maior que 1.
 Redução: razão entre os lados correspondentes menor que 1.

Os pentágonos a seguir são semelhantes, observe as relações:

Ângulos
A = A’
B = B’
C = C’
D = D’
E = E’

Lados
AB = A’B’
BC = B’C’
CD = C’D’
DE = D’E’
EA = E’A’

Razão entre os lados

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’


A semelhança entre figuras possuem diversas aplicabilidades no cotidiano, como na elaboração de maquetes, ampliação de fotos, medições de distância (teorema de Tales) entre outras questões envolvendo proporcionalidade na Geometria.


Exemplo

Determine o valor da medida x, sabendo que os trapézios a seguir são semelhantes.

Precisamos descobrir qual a razão entre os segmentos proporcionais correspondentes.

7,5 / 3 = 2,5 e 5 / 2 = 2,5

O coeficiente de ampliação dos trapézios equivale à constante k = 2,5. Então:

x / 5 = 2,5
x = 2,5 * 5
x = 12,5

O valor de x corresponde a 12,5 unidades.

Para conseguir resolver esse assunto, você precisa saber de alguns assuntos antigos (pré-requisitos), mas não se preocupe que eu lhe digo os assuntos que você precisa saber, são eles:
Equação do 1º e 2º grau
Adição e subtração com números inteiros

Radiciação
Obs: Se você tiver alguma dúvida nesse ou em outro assunto deste blog, postem nos comentários.

Teorema de Tales

O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência:

“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.

Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

Exemplo 1
Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

AB = 2x – 3
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6

Determinando o valor de x:


AB = 2x – 3 → 2*4 – 3 = 5
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6



Exemplo 2
Determine o valor de x na figura a seguir:

Para conseguir resolver esse assunto, você precisa saber de alguns assuntos antigos (pré-requisitos), mas não se preocupe que eu lhe digo os assuntos que você precisa saber, são eles:

Simplificação de radicais

Equação do 1º e 2º grau

Potenciação

Adição e subtração com números inteiros

Produtos notáveis.

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